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    高等数学文科答案

    时间:2017-08-12 01:34:15 来源:千叶帆 本文已影响

    篇一:2013文科高等数学模拟试题与答案

    程名称: 文科高等数学 适 用时间:2013.1.3试卷类别:B 适用专业、年级、班: 13级

    一、单选题(本大题满分18分,每小题3分)

    1、已知f?x?在???,???内是可导函数,则?f?x??f??x??一定是( ) ?

    A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数D.不能确定奇偶性的函数

    3xm??2、 设lim?1??x???x??

    A.?e,则m? ( ) 11 B.3 C.2D. 32

    23、设f(x)?ax?bx?5,f(x?1)?f(x)?8x?3,则常数a和b的值分别为 ( )

    A.a?4,b??1 B.a??1,b?4C.a?2,b?1 D.a?1,b?2

    4、设函数F(x)是f(x)的一个原函数,则不定积分?1f(lnx)dx等于 ( ) x

    1A.F(lnx)B.F(lnx)?CC.F(x)?C D.F()?C x

    5、函数y?xe?x在??1,2?上取得最大值或最小值正确的是( )

    ?1?1B.最小值为0 C.最小值为e D.最小值为2e A.最大值为e?1

    ?1?2?6、矩阵??的逆阵是( ) 1 0??

    1??1???0 ?1?2?A.?? ? B. ?1?1 ??2 1????2?

    ?01??D. C. ?11?? ??22??1? 1?2??? ??1 0????2?

    答案:1、B 2、A 3、A 4、B 5、A6、C

    二、填空题(本大题满分20分,每小题2分)

    7、已知f?x??ex,f???x???1?x2,则??x??.

    ?x?a?8、已知极限lim???9,则常数a? . x???x?a??

    9、设f??1??1,则limx?1xf?x??f?1??. 2x?1

    10、已知d1f(x3)?,则f?(x)?. dxx??

    11、已知函数f(x)满足f(x)?x?2?1

    0f(x)dx,则f(x)?.

    12、设函数f(x)?log2x?8(x?2),则其反函数的定义域为 . 13、设f(x)有一个原函数?sinx,则?xf?(x)dx=. x2

    14、函数f(x)?x3在区间?0,3?上满足拉格郎日中值定理条件,则定理中的??

    ?431??7?????15、?1?23??2??.

    ?570??1?????

    2x1?x3?1??16、线性方程组??x1?x2?2x3??1的解为.

    ?x1?x3?5?

    1112答案:6、ln1?x2 7、ln3 8、 9、 10、x? 11、?9,??? 23x6??

    ?35???412、?1;13、3;14、?6?;15、?4,?23,9. ??49???

    三、计算题(本大题满分35分,每小题7分)

    17、求极限limx?0ln(1?x). x

    18、设f(x)?ln(1?x2),求f''(1).

    19、计算不定积分xedx. ?2x

    20、计算定积分?e1

    x3?lnx1.

    21、解一阶线性微分方程xy??y?1?0.

    17、解:limx?0ln(1?x)?limln(1?x)x x?0x

    1??x?ln?lim(1?x)??lne?1. x?0??1

    2x2(1?x2)18、解:f'(x)?,f''(1)?0. ,f''(x)?2221?x(1?x)

    19、解:xe?2xdx?12x12xed(2x)?e?C. 2?2

    20、解:?e1

    x3?lnx1??e13?lnx1d(3?lnx)

    1?23?lnx?4?23. 0

    21、解:原方程可化为

    y??y1??0, xx

    11?C?qe?pdx??e???xdx?C??1e??xdxdx??? ????x????它是一个一阶线性微分方程,由求解公式得 y?e??pdx

    1???elnx?C??e?lnxdx??x??

    1???x?C???Cx?1. x??11??x?C??dx??xx??1??x?C??2dx? x??

    四、证明及综合应用题(本大题满分27分,每题9分)

    22、试问a为何值时,函数f(x)?asinx?

    求出此极值。 1?sin3x在x?处取得极值,它是极大值还是极小值?并33

    22、解:f?(x)?acosx?cos3x 因为函数f(x)?asinx?1?sin3x在x?处取得极值,所以33

    ?a3f?()??1?0, 解得a?2. 又f??(x)??2sinx?3sin3x,f??(?)??2?<0,故知f(x)在322

    x??

    3处取得极大值,且 f()?2??

    33?3. 2

    23、已知某商品的需求函数为

    Q?1200?60p

    总成本函数为

    C?1000?10Q

    求使总利润最大的价格p、需求量(销售量)Q和最大利润。

    解:销售量为Q时的总收益为

    R(p)?Qp?1200p?60p2

    于是总利润为

    L(p)?R(p)?C(Q)

    ?1200p?60p2??1000?10?1200?60p??

    ??60p2?1800p?13000

    所以有

    L?(p)??120p?1800

    令L?(p)?0,得唯一驻点p0?15.又由L??(p)??120<0可知, 驻点p0为极大值点,亦即最大值点。因此,当价格为15个单位时,总利润最大,最大利润为L(15)?500个单位。而总利润最大时的销售量为Q(15)?300个单位。

    24. 由曲线xy?a(a?0)与直线x?a,x?2a及y?0围成 y

    一个平面图形。求 (1)该平面图形的面积;

    (2)该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积。

    O a 2a x 解:如图

    (1) S??adx?alnxax

    ?a(ln2a?lna)

    ?aln22a2aa

    a2

    (2) Vx???ydx????2dxaax

    1a112 ??a2[?]2??a(??) ax2aa

    ?a ?22a22a

    篇二:高数课后答案

    1

    (1) 若|a| = 2,则a0=_____a。答案:2

    2

    ?????

    (2) 若2a+3b=0且|a| = 1,则|b3

    ???

    (3) 若点A(1,2,?4),AB={?3,2,1},则点 B的坐标为(?2,?4,5)

    ?????

    (4)a//b的充要条件为.答案:a?b?0

    ????

    (5)a?b的充要条件为a?b?0

    ???????????????b?jj?k2k(6)若a= 3i+2, b=i-+, 则a=5a?3b=a?b; a?i=?

    ?j?a?1,?15,3i-7j-5k,-j-2k, -i?3k

    3

    (7)若OA={0,1,3},OB= {0,1,3},则面积S?OAB答案:2

    ????

    (8)若a={3,2,1},b={2,?3,k},且a?b,则k0

    22

    (9)方程x+y+z?3x?5y?25?0在空间中表示 . 答案:球面

    2

    (10)方程x?y?2y?0在空间中表示 . 答案:圆柱面 (11)方程x?y

    22

    2

    22

    ?2z在空间中表示 . 答案:旋转抛物面

    (12)方程y?2z是yoz坐标面上的. 是空间中的 。

    答案:抛物线,母线平行于x轴的抛物柱面

    22

    ??2y?z?4x?4z?2

    222

    ?y?3z?8x?12z?(13)曲线关于yoz坐标面的投影柱面方程为。答案:y?z?4z

    (14)在空间直角坐标系中把下列平面的特征填在横线上,y = 0 ;

    2x+1=0 ;x?y?0;3x?5z?6?02x?3y?z?0。

    答案:xoz坐标面,平行于yoz坐标,过z轴,平行于y轴,过原点, (15)平面x + y + z = 1的法向量n?{1, 1, 1}

    A

    ?

    (16)若平面Ax +By +Cz +D = 0在x轴上的截距为1,则 。答案:D

    ??1.

    57

    (17)两平面2x?3y+ 6z?1= 0与x + 3y + 2z?3= 0的夹角为。 答案:

    arccos

    ?x?2t?2?

    ?y??4t?5?z?3t?1

    (18)若直线?与平面?x??y?6z?16?0垂直,则。 答案:??4;???8.

    2

    ?y2z

    ??1??94??4

    3的交线是 。答案:??x?3

    x

    2

    (19)两曲面4(20)方程z?y2.选择

    ?

    2

    y

    2

    9?x

    2

    ?

    z

    2

    16

    ?1

    与x?

    ?1在空间中表示。 答案:双曲抛物面

    ?????

    (1)a与b的向量积a?b=0的充要条件是( ).答案:b

    ???????????

    000bbbba?aaaa.// c.=且= d.与之一为 b.

    ????

    (2)若|a+b| = |a|+|b|,则( ).答案: a

    ?????????

    a.a与b同方向 b.a与b反方向 c.|a| > |b| d.|a| < |b| (3)若a的方向角为

    ?,?,?,则( ).答案: a

    a.cosc.sin

    2

    ??cos

    2

    ??cos

    2

    ??1 b.cos

    2

    ??cos

    2

    ??cos

    2

    ??0

    2

    ??sin

    2

    ??sin

    2

    ??1d.cos??cos??cos??1

    ?A1x?D1?0

    ?

    (4)直线?A2z?D2?0(A1A2?0)的位置特征是( ).答案: b,d

    a.垂直于z轴b.平行于y轴c.平行于x轴d.平行于xoy坐标面

    (5)过点P1 (1, 1, 0) , P2(1, -1, 0) , P3(0, 0, 0)的平面方程为( ).答案: d a.x?y?0

    b.x?y?0 c.x?y?z?0

    d.z?0

    ?x?1?0

    ?

    z?3?y?2??

    ?1的位置关系为( )(6)平面x ?1= 0与直线?1.答案:a

    a.直线在平面上b.直线与平面平行c.直线与平面垂直d.直线与平面相交于一点 (7)球面方程x

    2

    ?y

    2

    ?z

    2

    ?2x?2z?0的球心M0及半径R分别为( ).答案:a

    a.M0(1,0,1),R?2 b.M0(?1,0,?1),R?2 c.M0(?1,0,1),R?2 d.M0(1,0,1),R?2

    (8)过y轴上的点(0,1,0)且平行于xoz坐标面的平面方程为( ).答案:b a.x = 0 b.y = 1 c.z = 0 d.x + z = 1

    (9)准线为xoy坐标面上以原点为圆心、半径为2的圆周母线平行于z轴的圆柱面方程是( ).答案b a.x?y?2b.x?y?4 c.x?y?4?0 d.x?y?z?4

    (10)下列方程在空间直角坐标系中表示抛物面方程的是( ).答案:b,c

    a.x?y?z?0 b.x?2y?z?0c.x?y?2z d.x?2y?z?0 3.在空间直角坐标系中,作出点A (3,2,-1)和B (-2,1,4),并写出它们关于: (1)各坐标面,(2)各坐标轴,(3)原点的对称点的坐标 .

    解:A (3,2,-1)关于XOY坐标平面对称的坐标是(3,2,1)

    A (3,2,-1)关于XOZ坐标平面对称的坐标是(3,?2,?1) A (3,2,-1)关于YOZ坐标平面对称的坐标是(?3,2,?1)

    ?????????0?0??j??00?3j4.求出向量a=i++k,b=2i+5k的单位向量a,b,并分别用a,b表示a,b.

    ?

    a?

    ?0a?

    33

    ???(i?j?k)

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    222

    22

    A (3,2,-1)关于原点对称的坐标是(?3,?2,1)

    解:

    ???

    ?1ba5.设向量={3,5,},={2,2,2},c={4,?1,?3},试求

    ??????a??b(1)2a?3b?4c;(2)(?,?为常数).

    ?????

    解:(1)2a?3b?4c?{16, 0,?20} (2)?a??b?{3??2?,5??2?,???2?}

    ????????

    6.设两力F1?2i?3j?6k和F2?2i?4j?2k都作用于点M(1,?2,3)处,且点N(p, q, 19)

    ,;

    ?b?

    ?0b?

    3838

    ???

    (2i?3j?5k)

    ?a,?

    ?0?

    3ab?

    ?0

    38b

    在合力的作用线上.试求p,q的值.

    ??

    解:因为MN??p-1,q?2,16?;F1+F2=?4,7,8?;由对应向量成比例知p?9,q?12

    ???

    7.两船在某瞬间位于P(18, 7, 0),Q(8, 12, 0),假设两船均沿PQ作匀速直线运动,且速率之比为3 :2,

    问在何处两船相遇.

    解:设在F?x,y,z?处相遇,PQ

    ???

    ???

    ?..??10,5,0?,PF=?x?18,y?7,z?

    ???

    PF

    ???

    ?

    35

    x?18

    由题意得PQ

    ,即?10

    (

    ?

    y?75

    ?

    z0

    ?

    3

    5,所以点F(12,10,0)。

    ?

    a的坐

    73

    ,,?1?

    ?228.设向量a的终点为

    32

    ),

    11

    cos??,cos??,?

    22求向量|a| = 3,方向余弦中的

    12

    1

    标及其起点.

    解:由cos??cos??cos??1,

    2

    2

    2

    cos??,cos??

    2得

    ,cos??

    22,

    ?3332?

    ??,,??

    ??222??。起点坐标为?2,0,?1?,2,0,?1?32 所以a

    ??

    9.已知a={4,?2, 4},b={6,?3, 2},试求

    ?????????((1)a?b;(2)(a,b) (3)(3a?2b)a+2b). ????a?b19

    cos(a , b)=?19

    ??arccos21ab??

    21 解:(1)a?b?38(2) (a,b)?

    ????0,0,8???8,?8,8???((3)(3a?2b)a+2b)??64

    ??

    10.已知四点A(1,2,3),B(5,?1,7),C(1,1,1),D(3,3,2).求 (1)

    P

    rjCD

    AB

    ;(2)cos(AB,CD).

    ?

    CD?ABCDAB

    ?

    3?41

    解:(1)

    PrjCDAB?AB?cos(AB,CD)?

    ???

    11.设力F?2i?3j?k使一质点沿直线从点M1(0,1,?1)移动到点M2(2,1,?2),试求力F所作的功. ????

    2,?3,1???2,0,?1??3 解:MN=?2,0,?1?,W?F?MN=?

    ???

    2 , (2)cos(AB,CD)

    ??

    12.已知a={4,?2,4},b={6,?3,2},试求

    ?????

    (1)a?b;(2)(2a?b)?b

    ?????????8i?16j16i?32j (2a?b)?b?解:(1)a?b= (2)

    ????????2i?2j?k5j?3k的单位向量. 13.求同时垂直于向量a=和b=4i+

    ????????i?2j?2kn?3

    解:n?a?b,则向量n同时垂直于向量a和向量b,,所以所求单位向量为

    ?

    ?

    13

    (

    i?2j?2k)

    14.已知三角形的顶点是A(1,?1,2),B(3,3,1)和C(3,1,3),求三角形ABC的面积.

    S?ABC?

    12

    ???

    ???

    AB?AC?3i?2j?2k?解: 15.求过点P(1,?1,?1),Q(2,2,4)且与平面x+y?z= 0垂直的平面方程.

    解:PQ??1,3,5?,所求平面的法向量n?PQ??1,1,?1??

    ???

    ???

    ??8,6,?2?,所求平面方程为4x?3y?

    z?6?0

    16.已知点A(2,?1,2)和B(8,?7,5)求过点B且垂直于AB的平面方程. 解:法向量AB??6,?6,3?,所以所求平面方程为2x?2y?z?35?0 17.求平面2x?y?z?7?0与x?y?2z?11?0的夹角.

    ??n1?n2

    ?n1??2,?1,1?,n2??1,1,2?,cos(n1,n2)??1

    n1n1

    2,所以夹角为3。 解:

    18.判断下列各对平面的位置关系.

    (1)x?2y?7z?3?0与 3x?5y?z?1?0 (2)x?y?z?7?0与 2x?2y?2z?1?0 (3)2x?3y?z?1?0与 x?y?2z?1?0 (3)两平面相交

    19.求过点(1,1,1),且同时垂直于平面4x?y?3z?1?0和x?5y?z?2?0的平面方程.

    ??????n1??4,?1,3?,n2??1,5,?1?,nn?n????14,7,21?n12解:,所求平面的法向量是,所以所求平面????

    n?n?0,所以两平面互相平行 n?n2解:(1)因为12?0,所以两平面互相垂直(2)因为1

    方程为2x?y?3z?2?0。

    20.设平面方程为Ax?By?Cz?D?0,问下列情形的平面位置有何特征:

    (1)D = 0 (2)A = 0 (3)A = 0,D = 0 (4)A = 0,B = 0,D = 0 解:(1)平面过原点(2)平面平行于X轴 (3)平面过X轴(4)平面过XOY平面 21.画出下列平面的图形.

    (1)2x?3y?3z?6= 0 (2)y?2(3)2y?3z?0 (4)3x?z?3?0 解:略 22.将下列直线的一般方程化为点向式方程及参数方程.

    ?x?y?z?5?0?z?1??5x?8y?4z?36?0(1)? (2)?2x?3y?2

    ?x?4t

    ?

    y?4?t

    xz?1?x?2y?2z?1?y?4?????z??1?3t

    ??320 43解:(1) (2)?x??2?3t

    ?

    ?y?2?2t?z?1?

    ?x?y?2z?1?0

    ?

    (?1,2,1)23.一直线通过点且与直线?x?2y?z?1?0平行.求此直线方程.

    ??

    n1??1,1,?2?,n2??1,2,?1?

    解:两平面的法向量分别为,

    ???

    n?n1?n2??3,?1,1?,所以直线方程为

    x?13

    ?

    y?2?1

    ?

    z?11

    24.一直线通过点(0,2,4),且与两平面x?2z?1?0及y?3z?2?0平行,求此直线方程. 解:两平面的法向量分别为

    ??

    n1??1,0,2?,n2??0,1,?3?

    xy?2z?4

    ?????n?n1?n2???2,3,1?,所以直线方程为?231。

    x?1

    25.求过直线1

    z?5

    ?

    y?1?1

    ?

    z?12

    与平面x+y?3z+15 = 0的交点,且垂直于该平面的直线方程.

    解:求出直线与平面的交点坐标为(3,?3,5),直线的方向向量为?1,1,?3?,所以直线方程为

    x?3?y?3?

    ?3。

    习题二

    1.填空

    (1)函数y?xsinx的图形关于对称。答案: y轴

    f(x)?

    x

    x

    (2)设函数

    y?3cos

    1?x则f[f(x)]。答案:1?2x

    x

    2的周期为 。答案:4?

    x

    1?x

    1?2x,则 f(x)。答案:3?2x

    (3)函数(4)已知

    f(x?1)?

    D??(x,y)x?0,y?1???(x,y)x?0,y?1?(5)设z?lnx(y?1),其定义域为 。答案:

    f(x,y)?x

    2

    ?y

    2

    ?xyargct

    x

    y,则f(1, 1)?,f(tx, ty)?

    2

    (6)设

    x

    2

    2

    答案:。

    2?

    ?

    tf(x,y) 4,

    2

    f(x?y, )?x?y

    y(7)设,则f(x, y)?lim

    x??

    x(y?1)y?1

    5x?2x?17x?2x?x?3

    5

    2

    42

    (8)

    ?

    。答案:0

    (9)n??0

    (10)数列有无极限与排在前面的有限项 关。答案:

    高等数学文科答案

    无 (11)(12)

    y?

    1

    f(x)?sin

    1

    x在 处间断,且为第类间断点。答案:x?0,二

    lim(n?2?n?1)?

    f(x)?

    ln(x?1)

    x?1的定义域为。答案:?xx?1? ?

    x

    ln(x?1)x?2的连续区间为 。答案:(1,2)?(2,??) (13)

    2.选择题

    (1)下列函数是奇函数的有( )答案:c,d

    a. e

    x

    2

    b.

    e

    ?x

    c.

    x?sinx

    d. xcosx

    (2)下列函数相同的是( )答案:a,d a. y?lnx与y?3lnx c. y?x与y?(

    z?

    2

    3

    y?

    x?1x?1

    2

    与y?x?1

    b.

    2?x?

    2?x

    x) d. y?

    4?x与y?

    1

    ln(x?y)的定义域是( )答案:d

    (3)函数a. c.

    D??(x,y)x?y?0?

    b.

    D??(x,y)x?y?0?

    D??(x,y)x?y?1?

    d.

    D??(x,y)x?y?0且x?y?1?

    篇三:大学文科高数试题及答案

    填空题

    1、函数f(x)?1

    5?x

    x2的定义域是(??,5)

    2、已知极限lim

    3、曲线y??x?kx?2x?2?3,则k??2。 1

    2处切线斜率是:x?1在(1,2)

    4、设y?x2x,则y'?2x2x(lnx?1)

    5、若?f(x)dx?x?C,则?f(1?x)dx?x?C

    6、已知cosx是f(x)的一个原函数,则?xf(x)dx?xcosx?sinx?C。

    二、选择题

    1、设P??1、2、3?,M=?1、3、5?,则P/M=(B)

    A、?5? B、?2? C、?1? D、?3?

    e

    exx2、y?x?2?1?1在其定义域(??,?)内是(B)

    A、奇函数B、偶函数C、非奇己鼶、有界函数

    3、以下计算正确的是(D)

    A、xex2dx?d(ex) B、2dx

    ?x2?dsinx

    C、dx

    x2?d(?1x) D、xdx?1

    2ln3x

    5、下列在指定区间是单调增函数的为(C)

    A、y?x,(?1,1) B、y?sinx,(??,??)

    C、y??x,(??,0) D、y?32?x,(0,??)

    a的值为(A) 326、已知f(x)?ax?x?x?1在x0?1处有极小值,则

    A、1B、1

    3

    1

    3C、0D、?

    7、设函数f(x)?acosx?1

    2cos2x在点x?

    1

    2?3处取得极值,则a?(C) A、0B、

    C、1D、2

    三、判断题

    1、若f(x)在点x0可导,则f(x)在点x0有极限(V)

    2、极限lim(1?x??ax)bx?d?e(X)

    1

    2f2d3、?xf(x2)f'(x2)dx?(x)?C(X) 2

    4、已知e?2.718.....是一个无理数,则?xedx?xe?C(X)

    四、证明题 1?2sinxsin,x?0?若f(x)??证明:f(x)在x?0处可导 x

    ?0,x?0?

    证明:limf(x)?f(0)

    x

    sinx

    xsin?limx?02xsinx1xx?0=limx?0?sinxsin1x?0

    ?f(x)在x?0处可导

    五、解答题 解不定积分?xcosx

    sin3xdx 由原式=?xcosx

    sin3x??sin

    ?1

    2

    1

    2

    1

    2x3xdx(sinx)??12??1?xd?? 2?sinx?=?x2sinx2sinx2sin222x?sin12xdx =?x??csc2xdx =?x?cotx?C

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