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数一概率论与数理统计考研知识点总结

2017-08-12 投稿作者:谁能温暖我的心 点击:74

篇一:数一概率论与数理统计考研知识点总结

考研数学是比较能拉开分数的一大科目,对于数学基础差的考生来说,一定要趁着暑假突击复习,完成逆袭。数学复习要了解各部分重点及考察题型,这样有针对性的复习有助于节省时间,提高效率。下面,新东方在线分享考研数学一概率与数理统计部分的必考知识点及其出题形式,大家一定要看看。

2016考研数学一:概率论与数理统计各章节考点总结

章节知识点题型重要度第一章 随机事件和概率概率的和差积公式随机事件概率的计算★★第二章 随机变量及其分布常见随机变量的分布及应用常见分布的逆问题★★★★第三章 多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的分布二维离散型随机变量的分布★★★★★二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘概率密度和条件概率密度二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘概率密度和条件概率密度的计算★★★★★两个随机变量简单函数的分布二维随机变量函数的分布★★★★★随机变量的独立性和不相关性随机变量的独立性★★第四章 随机变量的数字特征随机变量的数学期望、方差、标准差及其性质,常用分布的数字特征有关数学期望与方差的计算★★★★★第六章 数理统计的基本概念三大分布的典型模式、统计量的分布三大分布的典型模式,求统计量的分布及数字特征★★★★第七章 参数估计矩估计法和最大似然估计法,估计量的无偏性求参数的矩估计和最大似然估计★★★★★

篇二:数一概率论与数理统计考研知识点总结

第一章 概率论的基本概念 定义: 随机试验 E 的每个结果 样本点组成 样本空间 S,S 的子集为 E 的随机事件,单个样本点为 基本事件. 事件关系: 1.A ?? B,A 发生必导致 B 发生. 2.A ?? B 和事件,A,B 至少一个发生,A ?? B 发生.3.A ?? B 记 AB 积事件,A,B 同时发生,AB 发生. 4.A-B 差事件,A 发生,B 不发生,A-B 发生.5.A ?? B= ,A 与 B 互不相容(互斥),A 与 B 不能同时发生,基本事件两两互不相容. 6.A ?? B=S 且 A ?? B= ,A 与 B 互为 逆事件或对立事件对立事件,A 与 B 中必有且仅有一个发生,记 B= A S A ?? ?? .事件运算: 交换律、结合律、分配率略. 德摩根律: B A B A ?? ?? ?? , B A B A ?? ?? ?? . 概率: 概率就是 n 趋向无穷时的频率,记 P(A).概率性质: 1.P( )=0. 2.(有限可加性)P(A 1 ?? A 2 ?? ?? A n )=P(A 1 )+P(A 2 )+ +P(A n ),A i 互不相容. 3.若 A ?? B,则 P(B-A)=P(B)-P(A).4.对任意事件 A,有 ) A ( 1 ) A ( P P ?? ?? . 5.P(A ?? B)=P(A)+P(B)-P(AB). 古典概型: 即等可能概型,满足:1.S 包含有限个元素.2.每个基本事件发生的可能性相同. 等概公式: 中样本点总数中样本点数SA) A ( ?? ??nkP . 超几何分布:??????????????????????????????????????????????????????nNk nD NkDp ,其中raCra??????????????????. 条件概率: ) A () AB () A B (PPP ?? . 乘法定理:) A ( ) A B ( ) AB C ( ) ABC () A ( ) A B ( ) AB (P P P PP P P????. 全概率公式: ) B ( ) B A ( ) B ( ) B A ( ) B ( ) B A ( ) A (2 2 1 1 n nP P P P P P P ?? ?? ?? ?? ?? ,其中iB 为 S 的 划分. 贝叶斯公式: ) A () B ( ) B A () A B (PP PPi ii?? ,??????njj jB P B A P A P1) ( ) ( ) ( 或) ( ) ( ) ( ) () ( ) () (B P B A P B P B A PB P B A PA B P???? . 独立性: 满足 P(AB)=P(A)P(B),则 A,B 相互独立,简称 A ,B 独立. 定理一: A,B 独立,则.P(B|A)=P(B). 定理二:A,B 独立,则 A 与 B , A 与 B , A 与 B 也相互独立. 第二章 随机变量及其分布 (0 1)分布: k kp p k X P???? ?? ??1) 1 ( } { ,k=0,1 (0 p 1).伯努利实验:实验只有两个可能的结果:A 及 A . 二项式分布: 记 X~b(n,p),k n k knp p C k X P???? ?? ?? ) 1 ( } { . n 重伯努利实验:独立且每次试验概率保持不变.其中 A 发生 k 次,即二项式分布. 泊松分布: 记 X~ ( ),!} {kek X Pk ???????? ?? , ?? , 2 , 1 , 0 ?? k . 泊松定理: !) 1 ( limkep p Ckk n k knn?????????? ???? ?? ,其中 ?? ?? np .当 20 ?? n , 05 . 0 ?? p 应用泊松定理近似效果颇佳. 随机变量分布函数: } { ) ( x X P x F ?? ?? , ???? ?? ?? ?? ?? x . ) ( ) ( } {1 2 2 1x F x F x X x P ?? ?? ?? ?? . 连续型随机变量: ???? ????xt t f x F d ) ( ) ( ,X 为 连续型随机变量, ) (x f 为 X 的 概率密度函数,简称 概率密度. 概率密度性质: 1. 0 ) ( ?? x f ;2. 1 d ) ( ?????????? ??x x f ;3.???? ?? ?? ?? ??21d ) ( ) ( ) ( } {1 2 2 1xxx x f x F x F x X x P ;4. ) ( ) ( x f x F ?? ?? ,f(x)在 x 点连续;5.P{X=a}=0. 均匀分布: 记 X~U(a,b);???????????? ??????其它 ,,01) (b x aa bx f ;?????????????? ??????????b xb x aa ba xa xx F,,,10) ( . 性质:对 a c c+l b,有 a bll c X c P???? ?? ?? ?? } {指数分布: ????????????????其它 ,,001) (x ex fx ????;?????? ?? ??????其它 ,,00 1) (x ex Fx ??.无记忆性: } { } { t X P s X t s X P ?? ?? ?? ?? ?? . 正态分布: 记 ) , ( ~2?? ?? N X ; ]2) (exp[21) (22?????? ?????? ??xx f ; ttx Fxd ]2) (exp[21) (22???? ?????? ???????? ??. 性质: 1.f(x)关于 x= 对称,且 P{ -h X }=P{ X +h};2.有最大值 f( )=( ?? ?? 2 ) -1 . 标准正态分布: ]2exp[21) (2xx ?? ?????? ;???? ???? ?? ??xttx d ]2exp[21) (2??.即 =0, =1 时的正态分布X~N(0,1) 性质: ) ( 1 ) ( x x ?? ?? ?? ?? ?? .正态分布的线性转化: 对 ) , ( ~2?? ?? N X 有 ) 1 , 0 ( ~ NXZ???? ???? ;且有 ) ( } { } { ) (???????????? ???? ?????????? ?? ??x x XP x X P x F .正态分布概率转化: ) ( ) ( } {1 22 1???????? ???? ?????? ?? ?? ??x xx X x P ; 1 ) ( 2 ) ( ) ( } { ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? t t t t X t P ?? ?? ?? ?? . 3 法则: P= (1)- (-1)=68.26%;P= (2)- (-2)=95.44%;P= (3)- (-3)=99.74%,P 多落在( -3 , +3 )内. 上 ɑ 分位点: 对 X~N(0,1),若 z 满足条件 P{X z }= ,0 1,则称点 z 为标准正态分布的上 上 分位点. 常用 上 ɑ 分位点: 0

数一概率论与数理统计考研知识点总结

.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10 3.090 2.576 2.326 1.960 1.645 1.282 Y 服从自由度为 1 的 2分布: 设 X 密度函数 f X (x), ???? ?? ?? ?? ?? x ,若 Y=X 2 ,则?????????????? ?? ????0 00 )] ( ) ( [21) (yy y f y fyy fX XY,, 若设 X~N(0,1),则有?????????????????? ??0 0021) (2 2 1yy e yy fyY,,?? 定理: 设 X 密度函数 f X (x),设 g(x)处处可导且恒有 g (x) 0(或 g (x) 0),则 Y=g(X)是连续型随机变量,且有 ?????? ?? ?? ????其他 ,,0) ( )] ( [) (?? ?? y y h y h fy fXYh(y)是 g(x)的反函数;①若 ???? ?? ?? ?? ?? x ,则 =min{g( ),g(+ )}, =max{g( ),g(+ )};②若 f X (x)在[a,b]外等于零,g(x)在[a,b]上单调,则 =min{g(a),g(b)}, =max{g(a),g(b)}.应用: Y=aX+b~N(a +b,(|a| ) 2 ). 第三章 多维随机变量及其分布 二维随机变量的分布函数: 分布函数(联合分布函数): )} ( ) {( ) , ( y Y x X P y x F ?? ?? ?? ?? ,记作: } , { y Y x X P ?? ?? . ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( } , {1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? . F(x,y)性质: 1.F(x,y)是 x 和 y 的不减函数,即 x 2 x 1 时,F(x 2 ,y) F(x 1 ,y);y 2 y 1 时,F(x,y 2 ) F(x,y 1 ).2.0 F(x,y) 1 且 F( ,y)=0,F(x, )=0,F( , )=0,F(+ ,+ )=1. 3.F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y),即 F(x,y)关于 x 右连续,关于 y 也右连续. 4.对于任意的(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ),x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,有 P{x 1 X x 2 ,y 1 Y y 2 } 0. 离散型(X,Y): 0 ??ijp , 11 1?? ?? ??????????ijj ip ,ijy y x xp y x Fi i?? ?? ???? ??) , ( .连续型(X,Y):v u v u f y x Fy xd d ) , ( ) , (?? ???? ?? ?? ???? . f(x,y)性质: 1.f(x,y) 0. 2. 1 ) , ( d d ) , ( ?? ?? ?? ???? ?????? ?????? ??F y x y x f . 3. y x y x f G Y X PG?????? ?? d d ) , ( } ) , {( .4.若 f(x,y)在点(x,y)连续,则有 ) , () , (2y x fy xy x F???? ????. n 维: n 维随机变量及其分布函数是在二维基础上的拓展,性质与二维类似. 边缘分布: F x (x),F y (y)依次称为二维随机变量(X,Y)关于 X 和 Y 的 边缘分布函数,F X (x)=F(x , ) ,F Y (y)=F( ,y). 离散型: ?? ip 和jp ?? 分别为(X,Y)关于 X 和 Y 的 边缘分布律,记 } {1i ijjix X P p p ?? ?? ?? ????????, } {1j ijijy Y P p p ?? ?? ?? ????????.连续型: ) (x f X , ) (y f Y 为(X,Y)关于 X 和 Y 的 边缘密度函数,记?????? ???? y y x f x f X d ) , ( ) ( ,?????? ???? x y x f y f Y d ) , ( ) ( .二维正态分布: ]}) ( ) )( (2) ([) 1 ( 21exp{1 21) , (22222 12 12121222 1?????? ???? ???????????? ?? ?????????? ??????????????y y x xy x f .记(X,Y)~ N( 1 , 2 , 1 2 , 2 2 , )]2) (exp[21) (21211?????? ?????? ??xx f X , ?? ?? ?? ?? ?? x . ]2) (exp[21) (22222?????? ?????? ??yy f Y ,?? ?? ?? ?? ?? y.离散型条件分布律: jijjj ij ippy Y Py Y x X Py Y x X P???????? ???? ?? ??} {} , {} { . ???????? ???? ?? ??iijij ii jppx X Py Y x X Px X y Y P} {} , {} { . 连续型条件分布: 条件概率密度: ) () , () (y fy x fy x fYY X?? || 条件分布函数: xy fy x fy Y x X P y x FxYY Xd) () , (} { ) (???? ???? ?? ?? ?? | || ) () , () (x fy x fx y fXX Y?? || yx fy x fx X y Y P x y FyXX Yd) () , (} { ) (???? ???? ?? ?? ?? | || 含义:当 0 ?? ?? 时, ) | ( d ) | ( } | {| |y x F x y x f y Y y x X PY XxY X?? ?? ?? ?? ?? ?????? ???? . 均匀分布: 若??????????????其他 , 0) , ( ,1) , (G y xAy x f ,则称(X,Y)在 G 上服从 均匀分布. 独立定义: 若 P{X x,Y y}=P{X x}P{Y y},即 F(x,y)=F x (x)F y (y),则称随机变量 X 和 Y 是 相互独立的. 独立条件或可等价为:连续型:f(x,y)=f x (x)f y (y);离散型:P{X=x i ,Y=y j }=P{X=x i }P{Y=y j }. 正态独立: 对于二维正态随机变量(X,Y),X 和 Y 相互对立的充要条件是:参数 =0. n 维延伸: 上述概念可推广至 n 维随机变量,要注意的是边缘函数或边缘密度也是多元(1~n-1 元)的. 定理: 设(X 1 ,X 2 , ,X m )和(Y 1 ,Y 2 , ,Y n )相互独立,则 X i 和 Y j 相互独立.又若 h,g 是连续函数,则h(X 1 ,X 2 , ,X m )和 g(Y 1 ,Y 2 , ,Y n )相互独立. Z=X+Y 分布: 若连续型(X,Y)概率密度为 f(x,y),则 Z=X+Y 为连续型且其概率密度为?????? ?????? ?? y y y z f z fY Xd ) , ( ) ( 或?????? ?????? ?? x x z x f z fY Xd ) , ( ) ( . f X 和 f Y 的卷积公式: 记?????? ?????? ?? ?? y y f y z f z f f fY X Y X Y Xd ) ( ) ( ) ( *?????? ???? ?? x x z f x fY Xd ) ( ) ( ,其中除继上述条件,且 X 和 Y相互独立,边缘密度分别为 f X (x)和 f Y (y). 正态卷积: 若 X 和 Y 相互独立且 X~N( 1 , 1 2 ),记 Y~N( 2 , 2 2 ),则对 Z=X+Y 有 Z~N( 1 + 2 , 1 2 + 2 2 ). 1.上述结论可推广至 n 个独立正态随机变量.2.有限个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布.伽马分布: 记 ) , ( ~ ?? ?? ?? X , 0 ?? ?? , 0 ?? ?? . ?????????????????? ??其他 ,,00) (1) (1x e xx fx ?? ?????? ??,其中???????? ???? ??01d ) ( t e tt ???? . 若 X 和 Y 独立且 X~ ( , ),记 Y~ ( , ),则有 X+Y~ ( + , ).可推广到 n 个独立 分布变量之和.XYZ ?? : ?????? ???? x xz x f x z fX Yd ) , ( ) ( ,若 X 和 Y 相互独立,则有?????? ???? x xz f x f x z fY X X Yd ) ( ) ( ) ( . XY Z ??分布: ?????? ???? xxzx fxz f XY d ) , (1) (,若 X 和 Y 相互独立,则有?????? ???? xxzf x fxz fY X XYd ) ( ) (1) (. 大小分布: 若 X 和 Y 相互独立,且有 M=max{X,Y}及 N=min{X,Y},则 M 的分布函数:F max (z)=F X (z)F Y (z),N 的分布函数:F min (z)=1-[1-F X (z)][1-F Y (z)],以上结果可推广到 n 个独立随机变量的情况. 第四章 随机变量的数字特征 数学期望: 简称 期望或 均值,记为 E(X);离散型:k kkp x X E ?? ?????? 1) ( .连续型:?????? ???? x x xf X E d ) ( ) ( . 定理: 设 Y 是随机变量 X 的函数:Y=g(X)(g 是连续函数). 1.若 X 是离散型,且分布律为 P{X=x k }=p k ,则: k kkp x g Y E ) ( ) (1?? ??????. 2.若 X 是连续型,概率密度为 f(x),则: ?????? ???? x x f x g Y E d ) ( ) ( ) ( .定理推广: 设 Z 是随机变量 X,Y 的函数:Z=g(X,Y)(g 是连续函数). 1.离散型:分布律为P{X=x i ,Y=y j }=p ij ,则: ij j ii jp y x g Z E ) , ( ) (1 1 ???? ??????????. 2.连续型:?? ?????? ?????? ???? y x y x f y x g Z E d d ) , ( ) , ( ) ( 期望性质: 设 C 是常数,X 和 Y是随机变量,则: 1.E(C)=C.2.E(CX)=CE(X).3.E(X+Y)=E(X)+E(Y). 4.又若 X 和 Y 相互独立的,则 E(XY)=E(X)E(Y). 方差: 记 D(X)或 Var(X),D(X)=Var(X)=E{[X-E(X)] 2 }. 标准差( 均方差): 记为 (X), (X)= . 通式:2 2)] ( [ ) ( ) ( X E X E X D ?? ?? .k kkp X E x X D21)] ( [ ) ( ?? ?? ??????,?????? ???? ?? x x f x E x X D d ) ( )] ( [ ) (2. 标准化变量: 记???? ????xX*,其中 ?? ?? ) (X E ,2) ( ?? ?? X D ,*X 称为 X 的 标准化变量. 0 ) (*?? X E , 1 ) (*?? X D .方差性质: 设 C 是常数,X 和 Y 是随机变量,则: 1.D(C)=0. 2.D(CX)=C 2 D(X),D(X+C)=D(X). 3.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))},若 X,Y 相互独立 D(X+Y)=D(X)+D(Y).4.D(X)=0 的充要条件是 P{X=E(X)}=1. 正态线性变换: 若 ) , ( ~2i i iN X ?? ?? ,iC 是不全为 0 的常数,则 ) , ( ~2 21 12 2 1 1 i inii inin nC C N X C X C X C ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???? ???? . 切比雪夫不等式: 22} {?????? ?? ?? ?? ?? X P 或221 } {?????? ?? ?? ?? ?? ?? X P ,其中 ) (X E ?? ?? , ) (2X D ?? ?? , ?? 为任意正数. 协方差: 记 )]} ( )][ ( {[ ) , Cov( Y E Y X E X E Y X ?? ?? ?? . X 与 Y的相关系数: ) ( ) () , Cov(Y D X DY XXY?? ?? .D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y),Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 性质: 1.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b 是常数. 2.Cov(X 1 +X 2 ,Y)=Cov(X 1 ,Y)+Cov(X 2 ,Y). 系数性质: 令 e=E[(Y-(a+bX)) 2 ],则 e 取最小值时有 ) ( ) 1 ( ] )) ( [(2 20 0 minY D X b a Y E eXY?? ?? ?? ?? ?? ?? , 其中 ) ( ) (0 0X E b Y E a ?? ?? ,) () , Cov(0X DY Xb ?? . 1.| XY | 1.2.| XY |=1 的充要条件是:存在常数 a,b 使 P{Y=a+bX}=1. | XY |越大 e 越小 X 和 Y 线性关系越明显,当| XY |=1 时,Y=a+bX;反之亦然,当 XY =0 时,X 和 Y 不相关.X 和 Y 相互对立,则 X 和 Y 不相关;但 X 和 Y 不相关,X 和 Y 不一定相互独立. 定义: k 阶矩(k 阶原点矩):E(X k ). n 维随机变量 X i的协方差矩阵协方差矩阵:??????????????????????????????nn n nnnc c cc c cc c c???? ?? ??????2 12 22 211 12 11C , ) , Cov(j i ijX X c ?? =E{[X i -E(X i )][X j -E(X j )]}.k+l 阶混合矩:E(X k Y l ). k 阶中心矩:E{[X-E(X)] k }. k+l 阶混合中心矩: E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }. n 维正态分布: )} ( ) (21exp{det ) 2 (1) , , , (1 T22 1 X C XC?? ?? ?? ????nnx x x f???? ,T2 1T2 1) , , , () , , , (nnx x x?? ?? ?? ???????? X. 性质: 1.n 维正态随机变量(X 1 ,X 2 , ,X n )的每一个分量 X i (i=1,2, ,n)都是正态随机变量,反之,亦成立.2.n 维随机变量(X 1 ,X 2 , ,X n )服从 n 维正态分布的充要条件是 X 1 ,X 2 , ,X n 的 任意线性组合 l 1 X 1 +l 2 X 2 + +l n X n 服从一维正态分布(其中 l 1 ,l 2 , ,l n 不全为零). 3.若(X 1 ,X 2 , ,X n )服从 n 维正态分布,且 Y 1 ,Y 2 , ,Y k 是 X j (j=1,2, ,n)的线性函数,则(Y 1 ,Y 2 , ,Y k )也服从多维正态分布. 4.若(X 1 ,X 2 , ,X n )服从 n 维正态分布,则 X i 相互独立 与 X i 两两不相关 等价. ) ( x D 第五章 大数定律及中心极限定理 弱大数定理: 若 X 1 ,X 2 , 是相互独立并服从同一分布的随机变量序列,且 E(X k )= ,则对任意 ε 0 有11lim1???????????????? ?? ?????? ???? ??knknXnP 或 ?? ??PX ,knkXnX11???? ?? .定义: Y 1 ,Y 2 , ,Y n , 是一个随机变量序列,a 是一个常数.若对任意 ε 0,有 1 } | {| lim ?? ?? ???? ???? a Y Pnn则称序列 Y 1 ,Y 2 , ,Y n , 依概率收敛于a.记 a YPn???? ??伯努利大数定理: 对任意 ε 0 有 1 lim ???????????????? ???? ???? pnfPAn或 0 lim ???????????????? ???? ???? pnfPAn.其中f A 是n次独立重复实验中事件A发生的次数,p 是事件 A 在每次试验中发生的概率. 中心极限定理 定理一: 设 X 1 ,X 2 , ,X n , 相互独立并服从同一分布,且 E(X k )= ,D(X k )= 2 0,则 n 时有 ?? ?? n n X knk) (1?? ???? N(0,1)或nX???? ??~N(0,1)或 X ~N( , n2?? ).定理二: 设 X 1 ,X 2 , ,X n , 相互独立且 E(X k )= k ,D(X k )= k2 0,若存在 0 使 n 时, 0 } | {|1212?? ?? ?????????????? kknknX EB,则nknkknkBX ) (1 1???? ???? ?? ??~N(0,1),记212knknB ?????? ?? .定理三: 设 ) , ( ~ p n bn?? ,则 n 时, N p np npn~ ) 1 ( ) ( ?? ?? ?? (0,1),knknX1 ???? ?? ?? . 第六章 样本及抽样分布 定义: 总体:全部值; 个体:一个值; 容量:个体数; 有限总体:容量有限; 无限总体:容量无限. 定义: 样本:X 1 ,X 2 , ,X n 相互独立并服从同一分布 F 的随机变量,称从 F 得到的容量为 n 的 简单随机样本. 频率直方图: 图形:以横坐标小区间为宽,纵坐标为高的跨越横轴的几个小矩形. 横坐标:数据区间(大区间下限比最小数据值稍小,上限比最大数据值稍大;小区间:均分大区间,组距 =大区间/小区间个数;小区间界限:精度比数据高一位). 图形特点:外轮廓接近于总体的概率密度曲线.纵坐标:频率/组距(总长度: 1/ ;小区间长度:频率/组距). 定义: 样本 p 分位数:记 x p ,有 1.样本 x i 中有 np 个值 x p .2.样本中有 n(1-p)个值 x p . 箱线图: x p 选择: 记???????????? ??????????N np x xN np xxnp npnpp当 ,当 ,] [211 ) ( ) () 1 ] ([. 分位数 x 0.5 ,记为 Q 2 或 M,称为 样本中位数. 分位数 x 0.25 ,记为 Q 1 ,称为 第一四分位数. 分位数 x 0.75 ,记为 Q 3 ,称为 第三四分位数. 图形: 图形特点:M 为数据中心,区间[min,Q 1 ],[Q 1 ,M],[M,Q 3 ],[Q 3 ,max]数据个数各占 1/4,区间越短数据密集. 四分位数间距:记 IQR=Q 3 -Q 1 ;若数据 X Q 1 -1.5IQR 或 X Q 3 +1.5IQR,就认为 X 是 疑似异常值. 抽样分布: 样本平均值: iniXnX11???? ?? 样本方差: ) (11) (112 21212X n XnX XnSiniini?? ?????? ?? ???????? ?? 样本标准差: 2S S ?? 样本 k 阶(原点)矩:kinikXnA11???? ?? ,k 1样本k阶中心矩: kinikX XnB ) (11?? ?? ????,k 2 经验分布函数: ) (1) ( x Snx F n ?? , ?? ?? ?? ?? ?? x . ) (x S 表示 F 的一个样本 X 1 ,X 2 , ,X n 中不大于 x 的随机变量的个数. 自由度为n 的 2 分布: 记 2 ~ 2 (n),2 22212nX X X ?? ?? ?? ?? ?? ?? ,其中 X 1 ,X 2 , ,X n是来自总体 N(0,1)的样本.E( 2 )=n,D( 2 )=2n. 1 2 + 2 2 ~ 2 (n 1 +n 2 ). ?????????????????? ??其他 ,,00) 2 ( 21) (2 1 22y e xny fy nn. 2 分布的分位点: 对于 0 1,满足 ?? ?? ?????????? ?? ??????y y f n Pn) (2 22d ) ( )} ( { ,则称 ) (2n???? 为 ) (2n ?? 的上 上 分位点. ~近似的 min Q 1 M Q 3 max当 n 充分大时(n 40),2 2) 1 2 (21) ( ?? ?? ?? n z n?? ???? ,其中??z 是标准正态分布的上 分位点. 自由度为n 的 t 分布: 记 t~t (n),n YXt/?? , 其中 X~N(0,1),Y~ 2 (n),X,Y相互独立. 2 ) 1 (2) 1 (] 2 [] 2 ) 1 ( [) (?? ???????? ????nntn nnt h?? h(t)图形关于 t=0 对称;当n 充分大时,t 分布近似于N(0,1)分布. t 分布的分位点: 对于 0 1,满足 ???????? ?? ??????t t h n t t Pn t ) (d ) ( )} ( { ,则称 ) (n t ?? 为 ) (n t 的上 上 分位点. 由 h(t)对称性可知 t 1 - (n)=-t (n).当 n 45 时,t (n) z ,z 是标准正态分布的上 分位点. 自由度为(n 1 ,n 2 )的F分布: 记 F~F(n 1 ,n 2 ),21n Vn UF ?? ,其中 U~ 2 (n 1 ),V~ 2 (n 2 ),X,Y 相互独立.1/F~F(n 2 ,n 1 ) ?????????????? ?? ???? ????????其他 ,,00] 1 )[ 2 ( ) 2 () ]( 2 ) ( [) (2 ) (2 1 2 11 ) 2 ( 22 1 2 12 11 1xn y n n ny n n n nyn nn n?? F 分布的分位点: 对于 0 1,满足 ?? ???????? ?? ??????y y n n F F Pn n F ) , (2 12 1d ) ( )} , ( { ,则称 ) , (2 1n n F ?? 为 ) , (2 1n n F 的上 上 分位点.重要性质:F 1 - (n 1 ,n 2 )=1/F (n 1 ,n 2 ). 定理一: 设 X 1 ,X 2 , ,X n 是来自 N( , 2 )的样本,则有 ) , ( ~2n N X ?? ?? ,其中 X 是样本均值. 定理二: 设 X 1 ,X 2 , ,X n 是来自 N( , 2 )的样本,样本均值和样本方差分别记为 X ,2S ,则有 1. ) 1 ( ~) 1 (222????nS n????;2. X 与2S 相互独立. 定理三: 设 X 1 ,X 2 , ,X n 是来自 N( , 2 )的样本,样本均值和样本方差分别记为 X ,2S ,则有 ) 1 ( ~ ????n tn SX ??. 定理四: 设X 1 ,X 2 , ,X n 1 与Y 1 ,Y 2 , ,Y n 2 分别是来自N( 1 , 1 2 )和 N( 2 , 2 2 )的样本,且相互独立.设这两个样本的样本均值和样本方差分别记为 X , Y ,21S,22S,则有 1. ) 1 , 1 ( ~2 122212221?? ?? n n FS S?? ??.2.当 1 2 = 2 2 = 2 时, ) 2 ( ~) ( ) (2 112112 1?? ?????? ?? ???? ??n n tn n SY Xw?? ??,其中2) 1 ( ) 1 (2 122 221 12?? ???? ?? ????n nS n S nS w ,2w wS S ?? .第七章 参数估计 定义: 估计量: ) , , , ( 2 1 nX X X ?? ?? , 估计值: ) , , , ( 2 1 nx x x ?? ?? ,统称为 估计. 矩估计法: 令 ) (llX E ?? ?? =linilXnA11???? ?? ( k l , , 2 , 1 ?? ?? )(k 为未知数个数)联立方程组,求出 估计 ?? . 设总体X均值 及方差 2 都存在,则有 X A ?? ??1 ?? ,212 2121 22) (1 1 X XnX XnA Ainiini?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???? ???? . 最大似然估计法: 似然函数:离散: ) ; ( ) (1?? ??inix p L???? ?? 或连续: ) ; ( ) (1?? ??inix f L???? ?? , ) ( ?? L 化简可去掉与 无关的因式项.?? 即 为 ) ( ?? L 最 大 值 , 可 由 方 程0 ) (dd?? ????L 或 0 ) ( lndd?? ????L 求得. 当多个未知参数 1 , 1 , , k 时:可由方程组 0dd?? Li??或0 lndd?? Li??( k i , , 2 , 1 ?? ?? )求得. 最大似然估计的 不变性:若 u=u( )有单值反函数 = (u),则有 ) ( ?? u u ?? ,其中 ?? 为最大似然估计. 截尾样本取样: 定时截尾样本:抽样 n 件产品,固定时间段 t 0 内记录产品个体失效时间(0 t 1 t 2 t m t 0 )和失效产品数量.定数截尾样本:抽样 n 件产品,固定失效产品数量数量 m 记录产品个体失效时间(0 t 1 t 2 t m ). 结尾样本最大似然估计: 定数截尾样本:设产品寿命服从指数分布 X~e( ), 即产品平均寿命.产品 t i 时失效概率 P{t=t i } f(t i )d t i ,寿命超过 t m 的概率??mtme t t F???? ?? } { ,则 ) ( }) { ( ) (1imim nmmnt P t t F C L?????? ?? ?? ?? ,化简得) (1) (mt s m eL???? ???????? ?? ,由 0 ) ( lndd?? ????L 得:mt sm )( ???? ,其中 s(t m )=t 1 +t 2 + +t m +(n -m)t m ,称为 实验总时间. 定时截尾样本:与定数结尾样本讨论类似有 s(t 0 )=t 1 +t 2 + +t m +(n -m)t 0 ,) ( 01) (t s m eL???? ???????? ?? ,mt s ) ( 0?? ?? ,.无偏性: 估计量 ) , , , ( 2 1 nX X X ?? ?? 的 ) ( ?? E 存在且 ?? ?? ?? ) ( E ,则称 ?? 是 ?? 的 无偏估计量. 有效性: ) , , , ( 2 1 1 nX X X ?? ?? 与 ) , , , ( 2 1 2 nX X X ?? ?? 都是 ?? 的无偏估计量,若 ) ( ) (2 1?? ?? D D ?? ,则1 ?? 较2 ?? 有效. 相合性: 设 ) , , , ( 2 1 nX X X ?? ?? ?? 的估计量,若对于任意 0 ?? ?? 有 1 } | {| lim ?? ?? ???? ???? ?? ?? Pn,则称 ?? 是 ?? 的 相合估计量.置信区间: ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 1 )} , , , ( ) , , , ( {2 1 2 1 n nX X X X X X P ?? ?? , ?? 和 ?? 分别为 置信下限和 置信上限,则 ) , ( ?? ?? 是?? 的一个置信水平为 ?? ?? 1 置信区间, ?? ?? 1 称为 置信水平, 1 0 ?? ?? ?? . 正态样本置信区间: 设 X 1 ,X 2 , ,X n 是来自总体 X~N( , 2 )的样本,则有 的置信区间: 枢轴量 W W 分布 a,b 不等式 置信水平 置信区间 ) 1 , 0 ( ~ NnX???? ?????????????? ??????????????????????????12znXP?? ) (2 ????znX ?? 其中z / 2 为上 分位点 置信区间的求解: 1.先求 枢轴量:即函数 W=W(X 1 ,X 2 , ,X n ; ),且函数 W 的分布不依赖未知参数. 如上讨论标注 2.对于给定置信水平 ?? ?? 1 ,定出两常数 a,b 使 P{a W b}= ?? ?? 1 ,从而得到置信区间.(0-1)分布 p 的区间估计: 样本容量 n 50 时,?? ?? ???? ??) 1 , 0 ( ~ ) 1 ( ) ( lim N p np np X nn?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ????1 ) 1 ( ) (2z p np np X n P0 ) 2 ( ) (2 222 22?? ?? ?? ?? ?? X n p z X n p z n?? ???? 若令22 ??z n a ?? ?? , ) 2 (22 ??z X n b ?? ?? ?? ,2X n c ??,则有置信区间( a ac b b 2 ) 4 (2?? ?? ?? , a ac b b 2 ) 4 (2?? ?? ?? ). 单侧置信区间: 若 ?? ?? ?? ?? ?? ?? 1 } { P 或 ?? ?? ?? ?? ?? ?? 1 } { P ,称( ?? , ?? )或( ?? ?? , ?? )是 的置信水平为 ?? ?? 1 的单侧置信区间单侧置信区间. 正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限(置信水平为 ?? ?? 1 ) 待估 其他 枢轴量 W 的分布 置信区间 单侧置信限 一个正态总体 2 已知 ) 1 , 0 ( ~ NnXZ???? ???? ) (2 ????znX ?? ?????? znX ?? ?? ,?????? znX ?? ?? 2 未知 ) 1 ( ~ ?????? n tn SXt?? ??????????????2 ??tnSX ???? tnSX ?? ?? ,???? tnSX ?? ?? 2 未知 ) 1 ( ~) 1 (2222?????? nS n?????? ?????????????????? ????22 12222) 1 (,) 1 (?? ???? ??S n S n 2122) 1 (????????????S n,222) 1 (??????S n????两个正态总体 1 - 2 1 2 , 2 2 已知 ) 1 , 0 ( ~) (2221212 1Nn nY XZ?? ???? ?????? ?? ???? ?????????????????? ?? ??2221212n nz Y X?? ???? 2221212 12221212 1n nz Y Xn nz Y X?? ???? ???? ???? ???????? ?? ?? ?? ???? ?? ?? ?? ?? 1 - 2 1 2 = 2 2= 2 未知 ) 2 ( ~) ( ) (2 112112 1?? ?????? ?? ?????? ??n n tn n SY Xtw?? ?? ?? ??1211 2?? ???? ?? ?? n n S t Y Xw ??2w wS S ?? 1211 2 11211 2 1?? ???? ???? ?? ?? ?? ???? ?? ?? ?? ??n n S t Y Xn n S t Y Xww?????? ???? ?? 2) 1 ( ) 1 (2 122 221 12?? ???? ?? ????n nS n S nS w 1 2 / 2 2 1 , 2 未知 ) 1 , 1 ( ~2 122212221?? ????n n FS SF?? ?? ?????????????????? 2 12221222211,1?? ??F SSF SS ??????????1222122211F SS,??????F SS 122212221?? 单个总体 X~N( , 2 ),两个总体 X~N( 1 , 1 2 ),Y~N( 2 , 2 2 ). 第八章 假设实验 定义: H 0 : 原假设或 零假设,为理想结果假设;H 1 : 备择假设,原假设被拒绝后可供选择的假设. 第 Ⅰ 类错误:H 0 实际为真时,却拒绝 H 0 . 第Ⅱ类错误:H 0 实际为假时,却接受 H 0 . 显著性检验:只对犯第第Ⅰ类错误的概率加以控制,而不考虑第Ⅱ类错误的概率的检验. P{当 H 0 为真拒绝 H 0 } , 称为 显著水平. 拒绝域:取值拒绝 H 0 . 临界点:拒绝域边界. 双边假设检验:H 0 : = 0 ,H 1 : 0 . 右边检验:H 0 : 0 ,H 1 : 0 . 左边检验:H 0 : 0 ,H 1 : 0 .正态总体均值、方差的检验法(显著性水平为 ) 原假设 H 0 备择假设 H 1 检验统计量 拒绝域 1 2 已知 0 0 nXZ???? 0 ???? z z 0 0 z -z = 0 0 |z| z /2 2 2 未知 0 0 n SXt0?? ???? t t (n-1) 0 0 t -t (n-1) = 0 0 |t| t /2 (n-1) 3 1 , 2 已知 1 - 2 1 - 2 222121n nY XZ?? ???????? ???? z z 1 - 2 1 - 2 z -z 1 - 2 = 1 - 2 |z| z /2 4 1 2 = 2 2 = 2 未知 1 - 2 1 - 2 1211?? ?????? ????n n SY Xtw?? 2) 1 ( ) 1 (2 122 221 12?? ???? ?? ????n nS n S nS w t t (n 1 +n 2 -2) 1 - 2 1 - 2 t -t (n 1 +n 2 -2) 1 - 2 = 1 - 2 |t| t /2 (n 1 +n 2 -2) 5 未知 2 0 2 2 0 2 2022) 1 (????S n???? 2 2 (n-1) 2 0 2 2 0 2 2 2 1 - (n-1) 2 = 0 2 2 0 2 2 2 /2 (n-1)或 2 2 1 - /2 (n-1) 6 1 , 2 未知 1 2 2 2 1 2 2 2 2221SSF ?? F F (n 1 -1,n 2 -1) 1 2 2 2 1 2 2 2 F F 1 - (n 1 -1,n 2 -1) 1 2 = 2 2 1 2 2 2 F F /2 (n 1 -1,n 2 -1)或 F F 1 - /2 (n 1 -1,n 2 -1) 7 成对 数据 D 0 D 0 n SDtD0 ???? t t (n-1) D 0 D 0 t -t (n-1) D =0 D 0 |t| t - 2 (n-1) 检验方法选择: 主要是 逐对比较法(成对数据)跟 两个正态总体均值差的检验的区别,如上表即 7 跟 3、4 的区别,成对数据指两样本 X 和 Y 之间存在一一对应关系,而 3 和 4 一般指 X 和 Y 相互对立,但针对同一实体. 关系: 置信区间与假设检验之间的关系:未知参数的置信水平为 1- 的 置信区间与显著水平为 的 接受域相同.定义: 施行特征函数(OC 函数): ( )=P (接受 H 0 ). 功效函数:1- ( ). 功效:当 * H 1 时,1- ( * )的值.

篇三:数一概率论与数理统计考研知识点总结

一、三数学中概率统计占22%,数学二不考概率。考生要想取得高分,概率学科尽量拿满分。在此我们将概率统计中重点内容和典型题型做了总结,希望对大家学习有帮助。

第1章随机事件和概率

1.1重点内容

事件的关系:包含,相等,互斥,对立,完全事件组,独立;事件的运算:并,交,差;

运算规律:交换律,结合律,分配律,对偶律;概率的基本性质及五大公式:加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式;利用独立性进行概率计算,伯努力试验计算。

近几年单独考查本章的考题相对较少,但是大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核。

1.2常见题型

1.求随机事件的概率;

2.随机事件的关系运算。

第2章随机变量及其分布

2.1重点内容

随机变量及其分布函数的概念和性质,分布律和概率密度,随机变量的函数的分布,一些常见的分布:0-1分布、二项分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布及它们的应用。而重点要求会计算与随机变量相联系的事件的概率,用泊松分布近似表示二项分布,以及随机变量简单函数的概率分布。

近几年单独考核本章内容不太多,主要考一些常见分布及其应用、随机变量函数的分布。

2.2常见题型

1.求一维随机变量的分布律、分布密度或分布函数;

2.一个函数为某一随机变量的分布函数或分布密度的判定;

3.根据概率反求或判定分布中的参数;

4.求一维随机变量在某一区间的概率;

5.求一维随机变量函数的分布。

第3章二维随机变量及其分布

3.1重点内容

本章是概率论重点部分之一,尤其是二维随机变量及其分布的概念和性质,边缘分布,边缘密度,条件分布和条件密度,随机变量的独立性及不相关性,一些常见分布:二维均匀分布,二维正态分布,几个随机变量的简单函数的分布。

3.2常见题型

1.求二维随机变量的联合分布律或分布函数或边缘概率分布或条件分布和条件密度;

2.已知部分边缘分布,求联合分布律;

3.求二维连续型随机变量的分布或分布密度或边缘密度函数或条件分布和条件密度;

4.两个或多个随机变量的独立性或相关性的判定或证明;

5.与二维随机变量独立性相关的命题;

6.求两个随机变量的相关系数;

7.求两个随机变量的函数的概率分布或概率密度或在某一区域的概率。

第4章随机变量的数字特征

4.1重点内容

本章内容是随机变量的数字特征:数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数,常见分布的数字特征。而重点是利用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征,根据一维和二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望。

4.2常见题型

1.求一维随机变量函数的数字特征;

2.求二维随机变量或函数的数字特征;

3.求两个随机变量的协方差或相关系数;

4.数字特征在经济中的应用题。

第5章大数定律和中心极限定理

5.1重点内容

本章内容包括三个大数定律:切比雪夫定律、伯努利大数定律、辛钦大数定律,以及两个中心极限定理:棣莫弗——拉普拉斯定理、列维——林德伯格定理。

本章的内容不是重点,也不经常考,只要把这些定律、定理的条件与结论记住就可以了。

5.2常见题型

1.估计概率的值;

2.与中心极限定理相关的命题。

第6章数理统计的基本概念

6.1重点内容

数理统计的基本概念主要是总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩。重点是正态总体的抽样分布,包括样本均值、样本方差、样本矩、两个样本的均值差、两个样本方差比的抽样分布。这会涉及标准正态分布、分布、分布和分布,要掌握这些分布对应随机变量的典型模式及它们参数的确定,这些分布的分位数和相应的数值表。

本章是数理统计的基础,也是重点之一。

6.2常见题型

1.样本容量的计算;

2.分位数的求解或判定;

4.总体或统计量的分布函数的求解或判定或证明

5.求总体或统计量的数字特征

第7章参数估计

7.1重点内容

本章的主要内容是参数的点估计、估计量与估计值的概念、一阶或二阶矩估计和最大似然估计法、未知参数的置信区间、单个正态总体均值和方差的置信区间、两个总体的均值差和方差比的置信区间。而重点是矩估计法和最大似然估计法,有时要求验证所得估计量的无偏性。

7.2常见题型

1.统计量的无偏性、一致性或有效性;

2.参数的矩估计量或矩估计值或估计量的数字特征;

3.参数的最大似然估量或估计量或估计量的数字特征;

4.求单个正态总体均值的置信区间。

来源:新东方在线论坛

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